চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

চিত্র অনুযায়ী, ধরা যাক দুটি ভেক্টর হলো \(\vec{P}\) এবং \(\vec{Q}\)। তাদের লব্ধি ভেক্টর হলো \(\vec{R}\)। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)।

প্রশ্নমতে,

    
• লব্ধির মান \(|\vec{R}| = R\)।
    
• একটি ভেক্টরের মান (ধরি, \(|\vec{P}| = P\)) লব্ধির মানের সমান। অর্থাৎ, \(P = R\)।
    
• লব্ধি \(\vec{R}\) ভেক্টরটি \(\vec{P}\) এর সাথে লম্ব। অর্থাৎ, \(\vec{R}\) এবং \(\vec{P}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 90^\circ\)।

আমরা জানি, দুটি ভেক্টর \(\vec{P}\) এবং \(\vec{Q}\) এর লব্ধির মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha}\]

এবং লব্ধি \(\vec{R}\) যদি \(\vec{P}\) ভেক্টরের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে:

\[\tan\theta = \frac{Q \sin\alpha}{P + Q \cos\alpha}\]

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, \(\theta = 90^\circ\)।

\[\tan 90^\circ = \frac{Q \sin\alpha}{P + Q \cos\alpha}\]

যেহেতু \(\tan 90^\circ\) অসংজ্ঞায়িত (undefined), তাই এর হর (denominator) শূন্য হবে।

\[P + Q \cos\alpha = 0\]

এখানে, \(P = R\) বসিয়ে পাই:

\[R + Q \cos\alpha = 0\]

\[Q \cos\alpha = -R \quad \ldots(1)\]

এখন, লব্ধির মানের সূত্রে \(P = R\) বসিয়ে পাই:

\[R^2 = R^2 + Q^2 + 2RQ \cos\alpha\]

\[0 = Q^2 + 2RQ \cos\alpha\]

যেহেতু \(Q \neq 0\) (অন্য ভেক্টরটির মান শূন্য হতে পারে না), আমরা উভয় পক্ষকে \(Q\) দ্বারা ভাগ করতে পারি:

\[0 = Q + 2R \cos\alpha\]

\[Q = -2R \cos\alpha \quad \ldots(2)\]

সমীকরণ (1) থেকে \(\cos\alpha = -\frac{R}{Q}\) এর মান সমীকরণ (2) তে বসিয়ে পাই:

\[Q = -2R \left(-\frac{R}{Q}\right)\]

\[Q = \frac{2R^2}{Q}\]

\[Q^2 = 2R^2\]

\[Q = \sqrt{2R^2}\]

\[Q = R\sqrt{2}\]

অতএব, অন্য ভেক্টরটির মান \(R\sqrt{2}\)।

প্রদত্ত বিকল্পগুলি হল:

    
1. \(\sqrt{2R}\)
    
2. \(R^2\)
    
3. \(\sqrt{2R}\)
    
4. \(\frac{1}{\sqrt{2}}R\)

আমার গণনাকৃত মান \(R\sqrt{2}\) এর সাথে প্রদত্ত কোনো বিকল্পের হুবহু মিল নেই। \(\sqrt{2R}\) এর অর্থ হলো \(\sqrt{2 \times R}\), যা \(R\sqrt{2}\) থেকে ভিন্ন।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।